"A Complete Unknown" speelt zich af in de invloedrijke New Yorkse muziekscene van de vroege jaren 60 en volgt de 19-jarige muzikant uit Minnesota, Bob Dylan's (Timothée Chalamet) razendsnelle opkomst als folkzanger naar concertzalen en de top van de hitlijsten. Zijn songs en mystiek werden een wereldwijde sensatie met als hoogtepunt zijn baanbrekend elektrisch rock-'n-rolloptreden op het Newport Folk Festival in 1965.